Tỉ số thể tích khối đa diện và cách giải bài tập - Toán lớp 12
I. LÝ THUYẾT
Chú thích V1= Thể tích cũ, V2= Thể tích mới (dùng cho kỹ thuật chuyển đỉnh và đáy).
1. Kỹ thuật đổi đỉnh (đáy không đổi)
a) Song song với đáy
V1=V2=13Bh.
b) Cắt đáy
V1V2=13.dA;P.Sđ13.dB;P.Sđ=dA;PdB;P=IBIA.
2. Kỹ thuật chuyển đáy (đường cao không đổi)
V1V2=S1S2 ;với S1 là diện tích đáy cũ; S2 là diện tích đáy mới
Chú ý:
+ Đưa hai khối đa diện về cùng một đỉnh; hai đáy mới và cũ nằm trong cùng một mặt phẳng (thường thì đáy cũ chứa đáy mới). Áp dụng công thức tính diện tích của đa giác để so sánh tỉ số giữa đáy cũ và đáy mới.
+ Nếu tăng (hoặc giảm) mỗi cạnh của đa giác (tam giác, tứ giác), k lần thì diện tích đa giác sẽ tăng (hoặc giảm) k2 lần.
3. Một số kết quả quan trọng:
Kết quả 1: Cho tam giác OAB, trên cạnh OA chọn A’, trên cạnh OB chọn B’.
Lúc đó:
SOA'B'SOAB=OA'OA⋅OB'OB
Kết quả 2: Cho hình chóp S. ABC, trên cạnh SA chọn A’, trên cạnh SB chọn B’ trên cạnh SC chọn C’.
Lúc đó:
VS.A'B'C'VS.ABC=SA'SA⋅SB'SB⋅SC'SC
Kết quả 3: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Trên các cạnh bên AA’, BB’, CC’ lần lượt lấy các điểm M, N, P.
Giả sử:
A'MA'A=x; B'NB'B=y; C'PC'C=z
Khi đó: VA'B'C'.MNPVA'B'C'.ABC=x+y+z3
Kết quả 4: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’. Trên các cạnh bên AA’, BB’, CC’, DD’ lấy lần lượt các điểm M, N, P, Q sao cho M, N. P, Q đồng phẳng.
Giả sử
A'MA'A=x, B'NB'B=y, C'PC'C=z, D'QD'D=t
Khi đó:
1. x+z=y+t
2. VA'B'C'D'.MNPQVA'B'C'D'.ABCD=x+y+z+t4
II. PHƯƠNG PHÁP
Dạng 1. Tỉ số thể tích của hình chóp tam giác.
+) Tỉ số thể tích của hai khối chóp chung đáy (hoặc chung chiều cao)
- Nếu hai khối chóp chung đáy thì tỉ số thể tích bằng tỉ số độ dài hai chiều cao.
- Nếu hai khối chóp chung đường cao thì tỉ số thể tích bằng tỉ số diện tích hai đáy.
+) Tỉ số thể tích của hai khối chóp tam giác:
- Sử dụng công thức tỉ số thể tích để tính.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABC có VS.ABC=6a3 . Gọi M, N, Q lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB, SC sao cho SM = MA, SN = NB, SQ = 2QC. Tính VS.MNQ .
Hướng dẫn giải:
Ta có:
VS.MNQVS.ABC=SMSA.SNSB.SQSC=12.12.23=16
⇒VS.MNQ=16VS.ABC=16.6a3=a3
Vậy thể tích khối chóp S. MNQ là a3 .
Ví dụ 2: Hình chóp S. ABC có M, N, P theo thứ tự là trung điểm SA, SB, SC. Đặt k=VMNPABCVSABC . Khi đó giá trị của k là
A. 87
B. 78
C. 8
D. 18
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Dạng 2. Tỉ số thể tích của hình chóp tứ giác:
+) Tỉ số thể tích của hai khối chóp chung đáy (hoặc chung chiều cao)
- Nếu hai khối chóp chung đáy thì tỉ số thể tích bằng tỉ số độ dài hai chiều cao.
- Nếu hai khối chóp chung đường cao thì tỉ số thể tích bằng tỉ số diện tích hai đáy.
+) Tỉ số thể tích của hai khối chóp tứ giác:
- Phân chia khối chóp tứ giác thành nhiều khối chóp tam giác
- Sử dụng công thức tính tỉ số thể tích của hình chóp tam giác, các kĩ thuật chuyển đỉnh, chuyển đáy để tính toán thể tích các khối chóp tam giác.
- Kết luận lại về tỉ số khối chóp tứ giác ban đầu.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tỉ số thể tích của khối chóp S.MNPQ và khối chóp S.ABCD bằng:
A. 18
B. 116
C. 14
D. 13
Lời giải
Chọn A.
Dạng 3. Tỉ số thể tích hình lăng trụ tam giác
+) Gọi V là thể tích khối lăng trụ, V(4) là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 6 đỉnh của lăng trụ (4 đỉnh được lấy phải tạo thành tứ diện), V(5) là thể tích khối chóp tạo thành từ 5 trong 6 đỉnh của lăng trụ. Khi đó:
V4=V3; V5=2V3
+) Nếu mặt phẳng cắt các cạnh bên của lăng trụ tam giác, ta sẽ áp dụng công thức tính nhanh ở kết quả 3.
Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ ABC. A’B’C’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CC’ và BB’. Tính tỉ số VABCMNVABC.A'B'C'
A. 16
B. 13
C. 12
D. 23
Hướng dẫn giải:
Xét hai đa diện là ABCMN và ABC. A’B’C’. Ta đặt:
x=AAAA'=0, y=BMBB'=12, z=CNCC'=12
Ta có
VABCMNVABC.A'B'C'=x+y+z3=0+12+123=13
Tức là VABCMNVABC.A'B'C'=13
Chọn B.
Dạng 4. Tỉ số thể tích hình hộp.
Nếu mặt phẳng cắt các cạnh bên của khối hộp ta sẽ áp dụng công thức tính nhanh tỉ số thể tích ở kết quả 4. Ngoài ra cần vận dụng thêm các phép lắp ghép đa diện (cộng – trừ thể tích đa diện) để giải quyết dạng toán này.
