Chuyên đề về Sự đồng biến, nghịch biến hàm số - Toán 12
A. Lý thuyết
1. Định nghĩa.
Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.
- Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀ x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).
- Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀ x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu.
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.
– Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0, ∀ x ∈ K
– Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0, ∀ x ∈ K.
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu.
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.
– Nếu f'(x) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.
– Nếu f'(x) < 0, ∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.
– Nếu f'(x) = 0, ∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K.
Lưu ý
– Nếu f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ K (hoặc f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ K) và f'(x) = 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K (hoặc nghịch biến trên khoảng K).
B. Bài tập
I. Bài tập trắc nghiệm
Bài 1: Cho hàm số y = sin2x - 2x. Hàm số này
A. Luôn đồng biến trên R
B. Chỉ đồng biến trên khoảng (0; +∞)
C. Chỉ nghịch biến trên (-∞; -1)
D. Luôn nghịch biến trên R
Lời giải:
Tập xác định D = R
Ta có : y' = 2.cos2x - 2 = 2(cos2x - 1) ≤ 0; ∀ x
(vì -1 ≤ cos2x ≤ 1)
Vậy hàm số luôn nghịch biến trên R
Chọn đáp án D.
Bài 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào chỉ đồng biến trên khoảng (-∞; 1) ?